Na początek krótki opis tego co nas czeka. Po pierwsze szukamy punktu siodłowego. Jeżeli go znajdujemy, to możemy odetchnąć z ulgą. Jeżeli jednak go nie ma musimy brnąć dalej. W kolejnym kroku odrzucamy strategie, które z punktu widzenia danego gracza są podporządkowane innym strategiom. Teraz układamy z pozostałych strategii gry 2x2 aż do momentu gdy znajdziemy wśród nich grę spełniającą pewne szczególne wymagania.

Przejdźmy do przykładu:

Wystarczy rzut oka na przedstawioną macierz wypłat aby zorientować się, że kryjąca się pod jej postacią gra nie posiada punktu siodłowego.

Szukamy teraz strategii podporządkowanych. Gracz B z pewnością zauważy że nie opłaca mu się nigdy stosować strategii B4 gdyż przynosi mu ona wyniki słabsze od strategii B3, niezależnie od tego, jakiej strategii użyje jego przeciwnik. Zapominamy więc o istnieniu strategii B4 i ponownie przyglądamy się macierzy wypłat.

Z trzech pozostałych strategii gracza B można ułożyć 3 różne gry 2x2 (ogólnie - z n strategii można utworzyć (n*(n-1))/2 gier 2x2). Oto i one:

Bierzemy pierwszą z gier 2x2. Jej rozwiązaniem jest punkt siodłowy. Gracz A powinien stosować tylko strategię A2, gracz B wyłącznie strategię B2. Cena tej gry jest równa 5.

Teraz korzystając z wyliczonych dla gracza A częstotliwości (0:1) liczymy cenę gry przeciw pozostałym strategiom gracza B. Jeżeli choć raz wyliczona cena gry przeciw jednej z pozostałych strategii gracza B będzie niższa od ceny badanej gry 2x2, wówczas dana gra 2x2 nie zawiera rozwiązania całej gry 2xn. Skomplikowane ? Nie, ale dość uciążliwe. Zobaczmy jak to wygląda w praktyce.

W tym przypadku mamy tylko jedną "pozostałą" strategię - B3 mianowicie. Liczymy ile wynosi cena gry przeciw tej strategii, gdyby gracz A użył swojej strategii mieszanej (0:1). Cena tej gry wynosi:

Cena gry przeciw strategii B3.

To mniej niż cena wyjściowej gry 2x2. Rozwiązania musimy więc szukać w kolejnych grach.

Rozwiązaniem tej gry jest częstotliwość 3:10 dla gracza A oraz 6:7 dla B. Cena tej gry wynosi 18/13. Stosując wyliczoną strategię mieszaną gracza A przeciw strategii B2 uzyskujemy cenę gry wyższą, gdyż wynosi ona 23/18. Tak więc ta gra 2x2 spełnia nasze kryterium, a jej rozwiązanie jest zarazem rozwiązaniem całej gry 2xn.

Przenosząc rozwiązanie gry 2x2 na wyjściową grę 2xn możemy napisać że gracz A powinien stosować swoje strategii jak A1:A1 jak 6:7, a gracz B swoje B1:B2:B3:B4 jak 3:0:10:0.

Metoda rachunkowa przy większej ilości strategii jest bardzo uciążliwa w użyciu. Na szczęście można ułatwić sobie zadanie korzystając z metody graficznej.

Jeżeli czujesz się przytłoczony ilością wykonanych przed chwilą rachunków to metoda graficzna powinna Ci przypaść do gustu. Aby z niej skorzystać wystarczy umieć rozwiązywać gry 2x2, a to przecież małe piwo. :-)

Skrypt prezentujący rozwiązywanie zadań metodą graficzną znajdziesz tutaj.

Pomyśl że miałbyś rozwiązać poniższą grę metodą rachunkową... eh... mi by się nie chciało...

Poradzimy sobie tak. Narysuj dwie pionowe osie. Teraz bierzesz po kolei strategie gracza B. Liczbę z pierwszego wiersza odkładaj na lewej osi, liczby z drugiego na prawej, a następnie połącz oba punkty. Na przykład dla strategii B1 - bierzesz liczbę 9, zaznaczasz ją na lewej osi, potem bierzesz -10, zaznaczasz na prawej i rysujesz krechę od jednego punktu do drugiego. Zrób tak dla wszystkich pięciu par.

Teraz znajdujesz najwyżej położony punkt dolnego konturu otrzymanej plątaniny linii. To ten, który leży na przecięciu linii narysowanych dla strategii B2 i B4.

Metoda graficzna rozwiązywania gier 2xn.

Teraz konstruujesz grę 2x2 dla strategii B2 i B4.

Rozwiązujesz ją ...i oto masz rozwiązanie całej gry 2xn !

W tym przypadku okazuje się, że gracz A powinien stosować strategie A1:A2 w stosunku 10:6, a gracz B swoje B1:B2:B3:B4:B5 w stosunku 0:7:0:9:0

Gdy już ochłoniesz po zderzeniu z prostotą metody graficznej to przyjrzyj się jej uważnie. Na pewno zauważysz, że w zasadzie sposób postępowania jest identyczny jak w metodzie rachunkowej... tylko o ileż prostszy ! I o to chodzi.