Chwilowo ograniczymy się do niewielkich gier, w których oboje gracze posiadają po dwie strategie. Nazwiemy je grami 2x2. Wprowadzimy kilka kolejnych pojęć, a potem rozszerzymy je na gry o większej liczbie strategii.
Zobaczyliśmy już, że nie każda gra posiada swój punkt siodłowy. Co wówczas robić ? Pokaże to kolejny przykład.
W przedstawionej macierzy wypisane są już wybrane przez graczy liczby. Jak widać są to różne wartości, tak więc punkt siodłowy nie istnieje. Gracz A wybierając strategię A1 gwarantuje sobie wygraną nie mniejszą niż 3. Gracz B grając B1 nie przegra więcej niż 7. Gdzieś między tymi liczbami znajduje się poszukiwane rozwiązanie. Aby je odnaleźć skorzystamy ze strategii mieszanych.
Idea stosowania strategii mieszanej jest następująca. Jeżeli przyjmiemy, że np. gracz B będzie ciągle stosował wybraną ze swoich strategii (np. B1), wówczas pozwoli graczowi A na uzyskanie poważnych korzyści. Rozwiązanie narzuca się samo - obaj gracze muszą stosować czasem pierwszą, a czasem drugą ze swoich strategii. Odtąd strategie A1, A2, B1 i B2 będziemy nazywać strategiami czystymi. Strategię, która decydować będzie o częstotliwości stosowania strategii czystych, nazwiemy strategią mieszaną.
Strategię mieszaną wyznaczamy w następujący sposób (nie przejmuj się, jeżeli zabrzmi to skomplikowanie, gdy zobaczysz przykład to wszystko zrozumiesz):
dla gracza A - odejmij od liczb pierwszej kolumny liczby drugiej kolumny. Bezwzględna wartość pierwszej z liczb określa częstotliwość stosowania strategii A2. Z kolei bezwzględna wartość drugiej z liczb określa częstotliwość stosowania strategii A1.
dla gracza B - odejmij od liczb pierwszego wiersza liczby drugiego wiersza. Bezwzględna wartość pierwszej z liczb określa częstotliwość stosowania strategii B2. Z kolei bezwzględna wartość drugiej z liczb określa częstotliwość stosowania strategii B1.
Tabela 2.12. Macierz gry - obliczanie strategii mieszanych
| B1 | B2 | ||
| A1 | 7 | 3 | A2 : |7-3| = 4 |
| A2 | 2 | 11 | A1 : |2-11| = 9 |
| B2 : |7-2| = 5 | B1 : |3-11| = 8 |
Łatwo można się tu pomylić automatycznie przypisując wyliczoną częstotliwość nie tej strategii czystej co trzeba, bo częstotliwości wychodzą "na krzyż". Przypominam też o konieczności narzucenia wartości bezwzględnej.
W przykładowej macierzy wypłat przedstawionej obok, gracz A powinien stosować strategię A1 i A2 w stosunku 9:4, gracz B strategię B1 i B2 w stosunku 8:5. Rzecz jasna, żaden z nich nie może zdradzić kolejności w jakiej stosuje swoje strategie - to bowiem pozwoliłoby przeciwnikowi zagrać lepiej.
Najlepszym wyjściem dla obu graczy jest losowanie strategii z wyliczonymi częstościami. Przy okazji zauważmy, że losowanie nie zawsze jest proste. Pomocny może okazać się rzut monetą, talia kart albo program komputerowy wypluwający "losowe" liczby z potrzebnego nam przedziału.
A morał z tej całej zabawy taki, że w niektórych grach nie ma lekko i ścisły determinizm rozwiązań (znany nam z gier z punktem siodłowym) musi ustąpić miejsca rozwiązaniom probabilistycznym.
Ceną gry nazywamy wypłatę jaką może uzyskać gracz przy założeniu, że zarówno on jak i jego przeciwnik grają najlepiej jak to możliwe. Nie można wygrać więcej niż wynosi cena gry, chyba że przeciwnik gra słabo.
W przypadku gry z punktem siodłowym cena gry jest równa wartości w punkcie siodłowym. W grze 2x2 wymagającej stosowania strategii mieszanej musimy cenę gry obliczyć, pamiętając o tym, że jest ona jednakowa dla obu graczy.
Wróćmy do naszej macierzy wypłat. Poprzednio obliczyliśmy, że gracz A powinien stosować strategię A1 i A2 w stosunku 9:4, a gracz B strategię B1 i B2 w stosunku 8:5.
Obliczmy cenę gry dla strategii mieszanej gracza A przeciw strategii B1 gracza B. Cenę gry liczymy jako pewien ułamek. W liczniku jest suma dwóch składników. Pierwszy z nich to częstotliwość strategii A1 pomnożona przez wypłatę z pola A1B1. Drugi ze składników to częstotliwość A2 razy odpowiednia wypłata (A2B1). W mianowniku mamy sumę częstotliwości stosowania strategii A1 i A2. Hmmm... myślę że najlepiej będzie jeśli przyjrzysz się obliczeniom i porównasz odpowiednie liczby z danymi z macierzy wypłat.
Cena gry dla strategii mieszanej gracza A przeciw strategii B1 gracza B.
Analogicznie wyliczymy cenę gry gracza A przeciw strategii B2, oraz cenę gry gracza B przeciw strategiom A1 i A2. Jak widać cena gry za każdym razem jest taka sama.
Cena gry dla strategii mieszanej gracza A przeciw strategii B2 gracza B.
Cena gry dla strategii mieszanej gracza B przeciw strategii A1 gracza A.
Cena gry dla strategii mieszanej gracza B przeciw strategii A2 gracza A.