TEORIA GIER

dylemat więźnia
równowaga Nasha

Do tej pory rozpatrywaliśmy podmioty, które z sobą nie rywalizowały (monopoliści, firmy na rynku doskonale konkurencyjnym). Działania jednych firm nie wpływały na decyzje innych firm.
Teoria gier jest działem matematyki poświęconym interakcjom międzyludzkim. Dziedzina ta rozwinęła się w II połowie XX wieku. Teoria gier znajduje zastosowania w wielu innych dziedzinach nauki, m. in. ekonomii, naukach politycznych, antropologii, socjologii.
W teorii gier mamy do czynienia z graczami, których działanie bezpośrednio wpływa na wynik gry.
Wynik gry jest to zysk lub użyteczność. Działanie jednych wpływa na zysk lub użyteczność innych agentów ekonomicznych.
Firmy z jednej gałęzi mają tendencję do skupiania się na małym terytorium zamiast rozmieścić się równomiernie na terenie całego kraju (np. hipermarkety). Nie jest to efektywne.

Do opisanej powyżej sytuacji doszło dlatego, że nie było kooperacji między obydwoma przedsiębiorcami. Ponadto żaden z nich nie mógł kontrolować drugiego. Założenie kooperacji graczy jest bardzo ważnym założeniem teorii gier.
W teorii gier najważniejsze jest określenie typu gry, z jaką mamy do czynienia.

1. Określamy, kim są gracze. Z reguły gracze są dobrze określeni, ale czasami mogą to być gracze      nietypowi, np. natura.
2. Określamy dostępne strategie zachowań poszczególnych graczy (Si- zbiór strategii gracza i).
3. Określamy funkcję użyteczności (wypłat) i-tego gracza, w zależności od przyjętej przez niego      strategii oraz od strategii innych graczy (U (si, s)). si, s S- strategie innych graczy.
4. Określamy, czy gra jest powtarzalna, czy też gramy tylko raz.

Dylemat więźnia
W tej grze graczami są dwaj więźniowie.
W tym przypadku obaj gracze mają do wyboru te same strategie (S1 = S2).
S1 = S2 = {i, s}
i - iść w zaparte, s - sypać
Obaj gracze mają do wyboru następujące funkcje użyteczności:
u1 = {i, s},     u1 = {s, i},     u2 = {i, i},      u2 = {s, s}
Poszczególnym funkcjom użyteczności można przypisać wartości (wypłaty).
Wygodne jest umieszczenie tych wartości w macierzy.

Liczby ujemne oznaczają, na ile lat więzienia zostali skazani gracze.
Ta gra ma rozwiązanie, tzn., że możemy się domyślić, jak zagrają obaj gracze. Jest to gra jednoczesna (gramy tylko raz) i nie ma w niej kooperacji. Każdy z więźniów myśli, że kolega go sypie. W związku z tym najlepszą strategią jest sypać kolegę.

Strategia zdominowana. W grze o postaci normalnej, G = {s1,...., sn, u1,...., un}, strategia si` jest bezpo-średnio zdominowana przez strategię si", jeżeli dla każdej dostępnej kombinacji strategii innego gracza, funkcja wypłat gracza i przy przyjęciu strategii si` jest mniejsza niż funkcja wypłat przy przyjęciu strategii si".
                                                                       U(si`) < U(si")
Więzień 1 nie wybierze strategii I, bo poszedłby na rok do więzienia gdyby obaj szli w zaparte lub 9 lat gdyby jego kolega sypał. W przypadku wyboru S wychodzi on na wolność (gdy więzień 2 przyjmuje strategię I) lub dostaje 6 lat gdy więzień 2 sypie.
Więzień 2 wie, że jego kolega jest racjonalny i nigdy nie zagra strategii I. Zatem gra upraszcza się do sytuacji przedstawionej w drugim wierszu macierzy wypłat. W tej sytuacji Więzień 2 nigdy nie zagra strategii I, bo dostałby wtedy 9 lat wiezienia zamiast 6 w przypadku zagrania strategii S.
W rezultacie rozwiązaniem gry jest strategia (S, S). Tego typu rozwiązanie jest nazywane rozwiązaniem przez znalezienie strategii zdominowanej.

Równowaga Nasha. W grze o postaci normalnej, G = {s1,..., sn, u1, ..., un}, strategie {s1*, ..., sn*) stanowią równowagę Nasha, jeżeli dla każdego gracza i strategia si* jest jego najlepszą odpowiedzią na strategie przyjęte przez innych graczy. Jest to najlepsza odpowiedź gracza i na najlepsze odpowiedzi innych graczy.

Załóżmy, że w grze z przykładu 2 Gracz 1 przyjął strategię T. Wówczas najlepszą odpowiedzią Gracza 2 jest strategia L, bo będzie miał wtedy największą wypłatę. W przypadku wyboru M przez Gracza 1 najlepszą odpowiedzią Gracza 2 jest G. Natomiast, gdy Gracz 1 wybierze B, to najlepszą odpowiedzią Gracza 2 będzie R. Podobnie szukamy najlepszych odpowiedzi Gracza 1 na strategie Gracza 2, np. gdy Gracz 2 przyjmie strategię R, to najlepszą odpowiedzią Gracza 1 będzie strategia B itd.
Równowagą Nasha będzie strategia {B, R}.

Gdybyśmy w poprzednich grach zastosowali do rozwiązania równowagę Nasha, to otrzymalibyśmy takie same rozwiązania jak przy zastosowaniu strategii zdominowanych.

Zainteresowanych tym tematem zapraszamy do "TEORII GIER" pana Tomasza Rostańskiego,
materiały dostępne także na stronie autora: http://www.giaur.qs.pl/teoriagier/teoria_gier_html_chunk/index.html